根号下分数怎样化解
2025-05-03 10:35:33
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根号下分数的化简主要通过分母有理化来实现，具体方法如下：
一、分母有理化的核心步骤
分子分母同乘分母
通过分子和分母同时乘以分母中的根号，利用平方差公式 $（a - b）（a + b） = a^2 - b^2$ 消去分母中的根号。例如，化简 $sqrt{frac{a}{b}}$ 时，乘以 $frac{sqrt{b}}{sqrt{b}}$ 得到：
$$
sqrt{frac{a}{b}} times frac{sqrt{b}}{sqrt{b}} = frac{sqrt{ab}}{b}
$$
化简分子与分母
- 分子可分解因数，提取能开方的部分（如 $sqrt{12} = 2sqrt{3}$）；
- 分母若为完全平方数，直接开方（如 $sqrt{9} = 3$）。
二、注意事项
分母有理化的必要性
仅当分母为无理数时需要有理化，若分母为有理数则无需处理。
特殊情况处理
- 带有多重根号时，可转化为分数指数幂后利用幂的运算性质化简；
- 假分数需先化为真分数再处理。
三、示例解析
以 $sqrt{frac{12}{27}}$ 为例：
1. 分子分母同乘 $sqrt{27}$：
$$
sqrt{frac{12}{27}} times frac{sqrt{27}}{sqrt{27}} = frac{sqrt{12 times 27}}{27}
$$
2. 化简分子 $sqrt{12 times 27} = sqrt{324} = 18$：
$$
frac{18}{27} = frac{2}{3}
$$
最终结果为 $frac{2}{3}$。
四、补充说明
若化简后分子或分母仍含根号，则结果为无理数，无法表示为分数；
实际运算中需结合因式分解和平方根性质综合运用。
通过以上步骤，可系统化地化简根号下分数。
