二进制的卷积怎么算
2025-05-07 07:04:18
流年如水
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二进制数卷积（FWT，快速沃尔什变换）的计算方法如下：
一、核心公式
$$
text{FWT}(f) = text{merge}(text{FWT}(f_0), text{FWT}(f_1))
$$
其中，$text{merge}$操作为：
1. 将序列$f_0$和$f_1$按位拼接；
2. 对应位进行二进制加法（即最高位带1的项与最高位不带1的项相加）。
二、迭代计算步骤
分解序列：
将输入序列$f$分解为两个子序列$f_0$和$f_1$，通常按奇偶位划分；
递归应用FWT：
对$f_0$和$f_1$分别进行快速沃尔什变换；
合并结果：
通过上述公式将变换后的结果合并，得到最终FWT结果。
三、优势与证明
效率提升：相比直接计算卷积，FWT将时间复杂度从$O（n^2）$降低到$O（n log n）$，适用于大规模数据处理；
数学依据：通过二进制加法和位操作的性质，可证明FWT后的乘法等价于原序列的卷积。
四、应用场景
广泛应用于信号处理、图像处理等领域，尤其在需要高效计算离散卷积的场景中表现突出。
