以下是二进制运算的例题及解析，涵盖加法、减法、乘法、除法及转换方法：

一、二进制加法

规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（向高位进位）

例题：计算 $（10101）_2 + （1001）_2$

1. 将两个数对齐：

```

10101

+ 01001

```

2. 从右到左逐位相加：

- 第0位：1+1=10，进位1，结果0

- 第1位：0+0+1（进位）=1

- 第2位：1+0=1

- 第3位：0+1=1

- 第4位：1+0=1

3. 最终结果：$（10011）_2$

二、二进制减法

规则：0-0=0，1-0=1，1-1=0，0-1=1（向高位借位）

例题：计算 $（10110）_2 - （11110）_2$

1. 将减数取反加1（补码运算）：

- $11110$ 取反为 $00001$，加1得 $00010$

2. 对齐后相加：

```

10110

+ 00010

```

3. 逐位相加：

- 第0位：0+0=0

- 第1位：1+0=1

- 第2位：1+0=1

- 第3位：0+1=1

- 第4位：1+0=1

4. 结果：$（10000）_2$（注意符号位）

三、二进制乘法

规则：与十进制类似，按位相乘后相加

例题：计算 $（1011）_2 times （11）_2$

1. 将第二个数拆分为二进制：

- $11 = 1 times 2^1 + 1 times 2^0$

2. 分别相乘：

```

1011

× 11

1011 (1011 × 1)

+10110 (1011 × 10, 左移1位)

```

3. 相加结果：

```

1011

+10110

101001

```

4. 最终结果：$（101001）_2$

四、二进制除法

规则：与十进制类似，按位相除后取余

例题：计算 $（10101010）_2 div （00101010）_2$

1. 对齐后进行长除法：

```

10101010

÷ 00101010

```

2. 逐位计算：

- 商为10，余数为0101010

3. 最终结果：$（10）_2$ 余 $（101010）_2$

五、二进制与十进制转换

方法：

十进制转二进制：

除2取余，逆序排列

- 例如：23 ÷ 2 得余数序列 1,1,1,0,1 → $（10111）_2$

二进制转十进制：

按权展开求和

- 例如：$（10100）_2 = 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 0×2^0 = 20$

六、经典应用示例

计算1的个数：使用 `lowbit`