如何用二进制来表示数
2025-05-02 07:13:14
许老师
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用二进制表示数的方法主要涉及数的表示形式、位权计算及不同类型数的转换。以下是具体说明：
一、二进制数的基本概念
定义与规则
二进制数由0和1组成，采用逢二进一的进位规则。例如：
- $1011_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 11_{10}$
- 借位规则为“借一当二”，例如 $1001_2 + 1_2 = 1010_2$（相当于十进制的9+1=10）。
位权与展开式
从右往左，二进制位的位权依次为 $2^0, 2^1, 2^2, dots$。例如：
- $1101_2 = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 13_{10}$。
二、无符号整数的表示
无符号整数直接用二进制位表示，数值大小与位数呈指数增长。例如：
8位无符号整数范围：$00000000_2$ 到 $11111111_2$（即0到255）。
三、有符号整数的表示
有符号整数需通过位运算实现，常用原码、反码、补码三种形式：
原码：
符号位+数值位（最高位为符号位，0表示正，1表示负）。例如：
- $+5_{10} = 00000101_2$
- $-5_{10} = 10000101_2$。
反码：
符号位不变，数值位取反。例如：
- $-5_{10}$ 的反码为 $11111010_2$。
补码：
反码加1。例如：
- $-5_{10}$ 的补码为 $11111011_2$。 补码的优点是加法运算统一，无需单独处理负数。
四、数制转换方法
二进制转十进制
将二进制数按位权展开求和。例如：
- $1011_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 11_{10}$。
十进制转二进制
采用“除2取余，逆序排列”法。例如：
- $23_{10} = 10111_2$。
五、应用示例
8位二进制数表示范围：
无符号数：0到255
有符号数：-128到+127
计算机存储：
整数以补码形式存储，便于统一运算。
通过以上方法，二进制数可灵活表示不同范围的整数，并为计算机运算提供基础。
