分数的不等式怎么解
2025-05-26 05:14:43
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分数不等式的解法主要分为以下步骤，结合标准化、等价变形和分类讨论等技巧：
一、基本解法步骤
标准化处理
- 将不等式右端化为零，分子分母同乘正数（注意保持不等号方向不变）。
- 例如：$frac{a}{b} >
c$ 可化为 $a >
bc$（当 $b >
0$）。
等价变形
- 通过移项、通分等操作将分式不等式转化为一元二次不等式（如 $ax^2+bx+c>
0$）。
- 注意：变形过程中需确保每一步操作同解（如乘以正分母）。
分类讨论
- 根据二次项系数 $a$ 的正负及判别式 $Delta=b^2-4ac$ 的值，分情况讨论解集：
- $a>
0$ 且 $Delta0$ 且 $Deltageq0$：解集为两根之外（如 $x^2-3x+2>
0$ 的解为 $x2$）。
二、注意事项
分母不为零：
变形前需确认分母不为零，避免增根。
结果表示：用区间或集合形式表示解集，如 $（1,2）cup（3,+infty）$。
边界值处理：对于严格不等式（如 $>
$），边界值通常不包含；对于非严格不等式（如 $geq$），需单独讨论边界情况。
三、典型例题
例1：解不等式 $frac{2x-1}{x+3} >
1$
标准化：$frac{2x-1}{x+3} - 1 >
0 Rightarrow frac{-4}{x+3} >
0$
等价变形：$-4（x+3） >
0$ 且 $x+3 neq 0$
解得：$x < -3$（解集为 $（-infty, -3）$）。
例2：当 $a=1$ 时，解不等式 $x^2-3x+2 geq 0$
分解因式：$（x-1）（x-2） geq 0$
解得：$x leq 1$ 或 $x geq 2$（解集为 $（-infty, 1] cup [2, +infty）$）。
