分数是怎么三次求导的
2025-05-10 22:49:14
吴老师
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分数函数的三次求导需要分步骤进行，具体方法如下：
一、基本求导法则
对于分数函数 $f（x） = frac{u（x）}{v（x）}$，其导数公式为：
$$
f'(x) = frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
该公式通过商的求导法则推导得出，需注意分母 $v（x） neq 0$。
二、三次求导步骤
求一阶导数
使用上述公式计算 $f'（x）$，得到：
$$
f'(x) = frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
求二阶导数
对 $f'（x）$ 再次求导，需使用商的求导法则：
$$
f''(x) = frac{[u''(x)v(x) + u'(x)v'(x)] cdot [v(x)]^2 - [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] cdot 2v(x)v'(x)}{[v(x)]^4}
$$
化简后得到：
$$
f''(x) = frac{u''(x)v(x)^2 + 2u'(x)v(x)v'(x) - u(x)v'(x)^2 - 2u'(x)v(x)v'(x)}{[v(x)]^4} = frac{u''(x)v(x)^2 - u(x)v'(x)^2}{[v(x)]^4}
$$
求三阶导数
对 $f''（x）$ 再次求导，继续使用商的求导法则：
$$
f'''(x) = frac{[u'''(x)v(x)^2 + 2u''(x)v(x)v'(x) - u(x)v'(x)^2] cdot [v(x)]^4 - [u''(x)v(x)^2 - u(x)v'(x)^2] cdot 4v(x)^3v'(x)}{[v(x)]^8}
$$
化简后得到：
$$
f'''(x) = frac{u'''(x)v(x)^3 + 3u''(x)v(x)v'(x)^2 - 3u(x)v'(x)^3 - u(x)v''(x)v(x)}{[v(x)]^5}
$$
三、注意事项
每次求导后需检查分母是否为零，避免导数不存在的情况。
复杂函数可能需要多次应用链式法则或乘积法则进行化简。
通过以上步骤，可系统地求出分数函数的三阶导数。
