怎样求分数方程的导函数
2025-05-10 06:20:58
吴老师
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求分数方程的导函数主要使用商的求导法则，具体步骤如下：
一、商的求导法则公式
对于分数函数 $y = frac{f（x）}{g（x）}$，其导数为：
$$
y' = frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
其中 $f'（x）$ 和 $g'（x）$ 分别是分子和分母的导数。
二、推导过程说明
分子分母分别求导
根据导数的线性性质，将分子 $f（x）$ 和分母 $g（x）$ 视为独立函数，分别求导。
应用乘积法则
分子部分 $f（x）g（x）$ 的导数为 $f'（x）g（x） + f（x）g'（x）$，分母部分 $[g（x）]^2$ 的导数为 $2g（x）g'（x）$。
化简得到最终公式
通过代数运算，将分子展开并合并同类项，最终得到商的求导公式。
三、注意事项
分母不为零：
若 $g（x） = 0$，则导数不存在，需单独处理。
复合函数求导：若分子或分母为复合函数，需使用链式法则进一步求导。
四、示例
以 $f（x） = frac{x}{x+1}$ 为例：
分子导数 $f'（x） = 1$，分母导数 $g'（x） = 1$；
代入公式得 $y' = frac{1 cdot （x+1） - x cdot 1}{（x+1）^2} = frac{1}{（x+1）^2}$。
