定积分ln分数怎么
2025-05-09 13:09:55
彭老师
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定积分中涉及自然对数函数（ln）的积分通常采用分部积分法。以下是具体步骤和注意事项：
一、分部积分法公式
对于不定积分 $int ln（x） , dx$，设：
$u = ln（x）$，则 $u' = frac{1}{x}$；
$v' = 1$，则 $v = x$。
根据分部积分公式 $int u , dv = uv - int v , du$，可得：
$$
int ln(x) , dx = x ln(x) - int x cdot frac{1}{x} , dx = x ln(x) - int 1 , dx = x ln(x) - x + C
$$
其中 $C$ 为积分常数。
二、定积分计算示例
若需计算定积分 $int_a^b ln（x） , dx$，可应用上述不定积分结果：
$$
int_a^b ln(x) , dx = left[ x ln(x) - x right]_a^b = left( b ln(b) - b right) - left( a ln(a) - a right)
$$
三、注意事项
函数定义域：
对数函数 $ln（x）$ 的定义域为 $x >
0$，计算时需确保积分区间满足此条件。
分部积分适用性：
分部积分法是处理对数函数积分的通用方法，其他复杂对数形式（如 $ln（f（x））$）可能需要结合换元法或分部积分法结合使用。
四、扩展公式
对数函数的基本运算法则包括：
$ln（MN） = ln M + ln N$（$M, N >
0$）
$lnleft（frac{M}{N}right） = ln M - ln N$（$M, N >
0$）
$ln（M^n） = n ln M$（$M >
0$）
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