成考数学方差怎么算
2025-05-08 19:03:22
许老师
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成考数学中方差的计算方法如下：
一、基本公式
总体方差公式
若数据为 $x_1, x_2, dots, x_n$，总体平均数为 $bar{x}$，则总体方差 $sigma^2$ 计算公式为：
$$
sigma^2 = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}(x_i - bar{x})^2
$$
其中，$bar{x} = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}x_i$。
样本方差公式
若数据为 $x_1, x_2, dots, x_n$，样本平均数为 $bar{x}$，则样本方差 $s^2$ 计算公式为：
$$
s^2 = frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}(x_i - bar{x})^2
$$
使用 $n-1$ 作为分母可校正样本方差，使其成为总体方差的无偏估计。
二、计算步骤（以样本为例）
计算平均数
$$
bar{x} = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}x_i
$$
例如，数据集 [1, 2, 3, 4, 5] 的平均数为：
$$
bar{x} = frac{1+2+3+4+5}{5} = 3
$$
计算每个数据与平均数的差的平方
$$
(x_i - bar{x})^2
$$
例如，$（1-3）^2 = 4$，$（2-3）^2 = 1$，依此类推。
求平方和
将所有平方差相加：
$$
S = sum_{i=1}^{n}(x_i - bar{x})^2
$$
继续示例：$S = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$。
计算样本方差
$$
s^2 = frac{S}{n-1} = frac{10}{5-1} = 2.5
$$
三、注意事项
分母选择
- 总体方差使用 $n$，样本方差使用 $n-1$。
- 若题目明确说明是“总体数据”，则按总体公式计算。
实际应用示例
假设某班级学生成绩为 [85, 90, 78, 92, 88]，计算过程如下：
- 平均数 $bar{x} = 86.8$
- 差的平方和 $S = 60.8$
- 样本方差 $s^2 = frac{60.8}{5-1} = 15.2$ 。
四、扩展公式
常数与随机变量的方差：
若 $X$ 为随机变量，$c$ 为常数，则 $D（c） = 0$，$D（cX） = c^2D（X）$。
独立随机变量的方差：若 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $D（X+Y） = D（X） + D（Y）$。
通过以上步骤，可系统计算成考数学中的方差，注意区分总体与样本的差异即可。
