将算术平方根化成分数的方法主要适用于分母含有根号的情况。以下是具体步骤和注意事项：

一、分母有理化

分子分母同乘分母的平方根

若分母为 $sqrt{a}$（$a$ 为正整数），则分子分母同时乘以 $sqrt{a}$，得到：

$$

frac{1}{sqrt{a}} = frac{sqrt{a}}{a}

$$

例如：$frac{1}{sqrt{5}} = frac{sqrt{5}}{5}$

分母为含根号的复杂分式

若分母为 $frac{1}{sqrt{a}}$ 或 $frac{sqrt{a}}{b}$，可先对分母进行有理化处理。例如：

$$

frac{1}{frac{1}{sqrt{a}}} = sqrt{a}

$$

$$

frac{sqrt{a}}{b} = frac{a}{bsqrt{a}} = frac{sqrt{a}}{b}

$$

二、分子有理化（特殊情况）

当分子为根号形式且分母为有理数时，可通过分子分母同乘分子对应的平方根进行有理化。例如：

$$

frac{sqrt{a}}{b} = frac{a}{bsqrt{a}} = frac{sqrt{a}}{b}

$$

但此情况较少见，通常需要结合分母有理化使用。

三、注意事项

结果化简

化简后需检查是否还能进一步简化，例如 $frac{sqrt{8}}{4}$ 可化简为 $frac{2sqrt{2}}{4} = frac{sqrt{2}}{2}$。

无理数处理

若平方根为无理数（如 $sqrt{2}$），则结果仍为无理数，无法表示为分数形式。

四、示例总结

| 示例 | 原式 | 化简过程 | 结果 |

|------|------|----------|------|

| $frac{1}{sqrt{5}}$ | $frac{1}{sqrt{5}}$ | 分子分母同乘 $sqrt{5}$ | $frac{sqrt{5}}{5}$ |

| $sqrt{frac{1}{27}} - sqrt{frac{1}{3}}$ | $frac{sqrt{1}}{3sqrt{3}} - frac{sqrt{1}}{sqrt{3}}$ | 分母有理化后合并同类项 | $frac{sqrt{3}}{9} - frac{sqrt{3}}{3} = -frac{2sqrt{3}}{9}$ |

| $3sqrt{40} - sqrt{frac{2}{5}} + 2sqrt{frac{1}{10}}$ | $6sqrt{10} - frac{sqrt{10}}{5} + frac{2sqrt{10}}{10}$ | 合并同类项 | $frac{30sqrt{10} - 2sqrt{10} + 2sqrt{10}}{5} = frac{30sqrt{10}}{5} = 6sqrt{10}$ |

通过以上方法，可将含根号的算术平方根转化为分数形式，并进行进一步的化简。