无数循环小数如何化分数
2025-05-04 08:11:35
王老师
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将无限循环小数化为分数的方法主要分为以下几种情况：
一、纯循环小数化分数
基本公式
纯循环小数化分数时，分子为循环节所组成的数，分母由与循环节位数相同个数的9组成。例如：
- $0.overline{3} = frac{3}{9} = frac{1}{3}$
- $0.overline{654} = frac{654}{999}$
- $0.overline{9} = frac{9}{9} = 1$
扩展方法（等比数列求和）
将纯循环小数展开为等比数列，求前n项和并取极限。例如：
- $0.overline{123} = frac{123}{999}$（通过等比数列求和公式 $S = frac{a}{1-r}$，其中 $a$ 为循环节，$r = frac{1}{10}$）
二、混循环小数化分数
基本公式
混循环小数化分数时，分子为不循环部分与第一个循环节连成的数减去不循环部分数字组成的数之差，分母为9与0的组合：
- $0.1overline{23} = frac{123 - 1}{90} = frac{122}{90} = frac{61}{45}$
- $0.234overline{56} = frac{23456 - 234}{9000} = frac{23222}{9000} = frac{11611}{4500}$
三、注意事项
化简
所得分数需约分至最简形式。例如：$frac{103099}{99900}$ 可化简为 $frac{1031}{999}$。
扩展案例
- $0.overline{1} = frac{1}{9}$（设 $x = 0.overline{1}$，则 $10x - x = 1$）
- $0.999overline{9} = 1$（设 $x = 0.999overline{9}$，则 $10x - x = 9$）
四、补充说明
无限循环小数属于有理数，可化为分数形式，例如 $frac{1}{3} = 0.333ldots$。若小数部分为无限不循环（如 $pi$），则属于无理数，无法表示为分数。
通过以上方法，可将各类无限循环小数准确转换为分数形式。
