定积分求体积的方法主要分为两类：旋转体体积和组合体体积。以下是具体方法及步骤：

一、旋转体体积的计算

圆盘法（绕x轴旋转）

若平面图形由曲线 $y = f（x）$、直线 $x = a$、$x = b$ 及x轴围成，绕x轴旋转一周形成的旋转体体积公式为：

$$

V = pi int_{a}^{b} [f(x)]^2 , dx

$$

示例：计算曲线 $y = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 绕x轴旋转形成的体积。

$$

V = pi int_{0}^{1} (x^2)^2 , dx = pi int_{0}^{1} x^4 , dx = frac{pi}{5}

$$

圆柱壳法（绕y轴旋转）

若平面图形由曲线 $x = g（y）$、直线 $y = c$、$y = d$ 及y轴围成，绕y轴旋转一周形成的旋转体体积公式为：

$$

V = 2pi int_{c}^{d} x cdot g(y) , dy

$$

示例：

计算直线 $x = y + 1$ 在区间 $[0, 1]$ 绕y轴旋转形成的体积。

$$

V = 2pi int_{0}^{1} (y + 1) cdot y , dy = 2pi left( frac{y^3}{3} + frac{y^2}{2} right) Bigg|_{0}^{1} = frac{5pi}{3}

$$

二、组合体体积的计算

对于由多个简单几何体组合而成的复杂图形，需先将其分解为基本几何体（如圆柱、圆锥、球体等），再分别计算体积，最后通过加减法得到组合体的总体积。

步骤

分解图形：

将组合体拆分为若干个简单几何体，例如通过求交点坐标确定组合体的边界。

分别积分：

对每个简单几何体使用定积分公式计算体积。

求和或相减：

根据组合体的结构关系，将各部分体积相加或相减。

示例：计算由抛物线 $y^2 = 8x$ 与直线 $y = 6x$ 及x轴围成的图形绕x轴旋转形成的体积。

求交点：

解方程组 $begin{cases} y^2 = 8x y = 6x end{cases}$ 得 $x = 0$ 和 $x = frac{4}{3}$。

分解体积：

将组合体拆分为两个旋转体体积之差，分别计算后相减。

三、注意事项

积分区间选择：

需根据旋转轴和图形边界确定积分上下限。

被积函数确定：

旋转轴不同，被积函数也不同（如圆盘法使用 $[f（x）]^2$，圆柱壳法使用 $x cdot g（y）$）。

复杂图形处理：

对于复杂图形，可先通过几何方法（如切片、组合分解）简化计算。

通过以上方法，利用定积分可灵活计算各类旋转体及组合体的体积。