9的循环怎么化成分数
2025-05-04 03:54:36
枫叶飘零
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0.9的循环（即0.999...）化成分数的过程如下：
方法一：等比数列求和法
1. 设 $x = 0.999ldots$。
2. 将其乘以10，得到 $10x = 9.999ldots$。
3. 用 $10x$ 减去 $x$：
$$
10x - x = 9.999ldots - 0.999ldots
9x = 9
$$
4. 解方程：
$$
x = frac{9}{9} = 1
$$
因此，$0.999ldots = 1$。
方法二：拆分法
1. 将0.999...拆分为两个循环小数之和：
$$
0.999ldots = 0.333ldots + 0.666ldots
$$
2. 分别将这两个循环小数化成分数：
- $0.333ldots = frac{1}{3}$
- $0.666ldots = frac{2}{3}$
3. 相加：
$$
frac{1}{3} + frac{2}{3} = 1
$$
因此，$0.999ldots = 1$。
方法三：方程法
1. 设 $x = 0.999ldots$。
2. 乘以10得到 $10x = 9.999ldots$。
3. 移项并解方程：
$$
10x - x = 9
9x = 9
x = 1
$$
因此，$0.999ldots = 1$。
结论
通过以上三种方法，均得出 $0.999ldots = 1$。这一结果在数学上是成立的，尽管直观上可能难以接受。
