号下的分数形式怎样化解
2025-05-04 01:36:30
朱老师
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根号下分数的化简主要通过分母有理化来实现，具体方法如下：
一、分母有理化的核心方法
分子分母同乘分母
将分子和分母同时乘以分母中的根号表达式，利用平方差公式 $（a - b）（a + b） = a^2 - b^2$ 消去分母中的根号。例如：
$$sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} times frac{sqrt{b}}{sqrt{b}} = frac{sqrt{ab}}{b}$$
这种方法适用于分母为单个根号的情况。
拆分分母为平方数与另一个数的乘积
若分母可以表示为 $ksqrt{m}$（$k$ 为有理数，$m$ 为正整数），则可将其拆分为 $sqrt{k^2 cdot m}$，从而将根号外的数提到前面。例如：
$$sqrt{frac{7}{4}} = frac{sqrt{7}}{sqrt{4}} = frac{sqrt{7}}{2}$$
对于更复杂的数，如 $sqrt{frac{8}{9}}$，可拆分为 $frac{sqrt{8}}{sqrt{9}} = frac{2sqrt{2}}{3}$。
二、注意事项
化简分子中的根号
若分子也含有根号，需同时乘以分子中根号部分的共轭式（如 $sqrt{a} times sqrt{a} = a$）进行化简。
分母为无理数的情况
当分母为 $sqrt{a}$（$a$ 为非完全平方数）时，需通过上述方法有理化；若分母为 $sqrt{a cdot b}$，则需拆分后分别有理化。
最简二次根式的判断
化简后需检查是否为最简形式，即被开方数不含分母，且被开方数的指数与根指数互质。例如 $sqrt{frac{8}{9}}$ 化简为 $frac{2sqrt{2}}{3}$ 后为最简形式。
三、示例总结
简单分数：
$sqrt{frac{1}{3}} = frac{sqrt{1}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{3}}{3}$
带整数的分数：$sqrt{frac{7}{4}} = frac{sqrt{7}}{sqrt{4}} = frac{sqrt{7}}{2}$
复杂分数：$sqrt{frac{18}{25}} = frac{sqrt{18}}{sqrt{25}} = frac{3sqrt{2}}{5}$
通过以上方法，可系统化地化简根号下的分数形式。
