根号里面的分数怎么倒数
2025-05-03 17:42:34
孙老师
已认证
已认证孙老师为您分享以下优质知识
要求根号内含有分数的数的倒数，可以按照以下步骤进行：
一、根号内分数的倒数计算方法
分母有理化
首先将根号内的分数进行分母有理化。例如，对于 $sqrt{frac{a}{b}}$（其中 $a$ 和 $b$ 为正整数），可以通过乘以 $frac{sqrt{b}}{sqrt{b}}$ 来实现：
$$
sqrt{frac{a}{b}} times frac{sqrt{b}}{sqrt{b}} = frac{sqrt{ab}}{b}
$$
这样就将根号内的分数转化为分母为有理数的形式。
取倒数
将有理化后的分数取倒数，即交换分子与分母的位置：
$$
left(frac{sqrt{ab}}{b}right)^{-1} = frac{b}{sqrt{ab}}
$$
为了进一步化简，可以再次进行分母有理化：
$$
frac{b}{sqrt{ab}} times frac{sqrt{ab}}{sqrt{ab}} = frac{bsqrt{ab}}{ab} = frac{sqrt{ab}}{a}
$$
因此，$sqrt{frac{a}{b}}$ 的倒数为 $frac{sqrt{ab}}{a}$。
二、示例说明
以 $sqrt{frac{2}{3}}$ 为例：
1. 分母有理化：
$$
sqrt{frac{2}{3}} times frac{sqrt{3}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}
$$
2. 取倒数：
$$
left(frac{sqrt{6}}{3}right)^{-1} = frac{3}{sqrt{6}} times frac{sqrt{6}}{sqrt{6}} = frac{3sqrt{6}}{6} = frac{sqrt{6}}{2}
$$
所以，$sqrt{frac{2}{3}}$ 的倒数是 $frac{sqrt{6}}{2}$。
三、注意事项
若根号内为负数，则需在复数范围内讨论倒数；
若分数为带分数，需先转换为假分数再求倒数。
通过上述步骤，可以系统地求出根号内含有分数的数的倒数。
