9循环用分数怎么表示
2025-05-03 17:00:36
朱老师
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0.9（9循环）可以用分数表示为1。以下是几种证明方法：
一、基于等式法
1. 设 $x = 0.999ldots$（1式）
2. 将等式两边同时乘以10：
$$10x = 9.999ldots$$（2式）
3. 用2式减去1式：
$$10x - x = 9.999ldots - 0.999ldots$$
$$9x = 9$$
4. 解得：
$$x = 1$$
二、基于极限法
0.999ldots 可以看作是无穷级数的和：
$$0.9 + 0.09 + 0.009 + ldots = sum_{n=1}^{infty} left(frac{9}{10}right)^n$$
这是一个等比数列，其和为：
$$frac{frac{9}{10}}{1 - frac{1}{10}} = frac{frac{9}{10}}{frac{9}{10}} = 1$$
三、基于分数表示法
1. 设 $x = 0.999ldots$
2. 则 $10x = 9.999ldots$
3. 用 $10x - x$：
$$10x - x = 9.999ldots - 0.999ldots = 9$$
4. 所以：
$$9x = 9 implies x = 1$$
四、其他说明
0.333ldots（3循环）等于 $frac{1}{3}$，而 $0.9 = 3 times 0.333ldots$，因此 $0.9 = frac{3}{3} = 1$。
0.099ldots（2位循环）等于 $frac{1}{10}$，这是有限小数的特殊情况。
综上，0.9（9循环）用分数表示为1。
