笔数分数求导是什么
2025-05-03 14:53:22
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分数求导是微积分中用于计算分式函数导数的方法。给定一个分式函数 $frac{u（x）}{v（x）}$，其导数公式为：
$$
left( frac{u(x)}{v(x)} right)' = frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
具体步骤说明：
求分子和分母的导数
首先分别对分子 $u（x）$ 和分母 $v（x）$ 求导，得到 $u'（x）$ 和 $v'（x）$。
应用商的求导法则
将分子导数与分母导数代入公式：
$$
left( frac{u(x)}{v(x)} right)' = frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
化简结果
计算分子 $u'（x）v（x） - u（x）v'（x）$ 和分母 $[v（x）]^2$，得到最终导数表达式。
示例：
若 $f（x） = frac{x^2}{3x + 1}$，则：
$u（x） = x^2$，$u'（x） = 2x$
$v（x） = 3x + 1$，$v'（x） = 3$
代入公式得：
$$
f'(x) = frac{(2x)(3x + 1) - (x^2)(3)}{(3x + 1)^2} = frac{6x^2 + 2x - 3x^2}{(3x + 1)^2} = frac{3x^2 + 2x}{(3x + 1)^2}
$$
注意事项：
分母不为零：
求导后需注意分母是否为零，避免出现无定义情况。
基本法则应用：复杂函数可拆解为基本函数组合，利用求导法则逐步推导。
通过以上方法，可系统化地求解分式函数的导数。
