分数平方根怎么去除
2025-05-03 14:52:43
雨后初晴
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去除分数平方根（即化简根号下的分数）通常通过分母有理化或分子有理化两种方法实现，具体步骤如下：
一、分母有理化（推荐方法）
当分母含有根号时，通过乘以适当的式子将分母化为有理数。
步骤：
分子分母同乘分母的共轭式
若分母为 $sqrt{a}$，则乘以 $frac{sqrt{a}}{sqrt{a}}$；若分母为 $sqrt{a} + sqrt{b}$，则乘以 $frac{sqrt{a} - sqrt{b}}{sqrt{a} - sqrt{b}}$ 等。
化简结果
通过平方差公式 $（x+y）（x-y）=x^2-y^2$ 消去分母中的根号。例如：
$$
frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}
$$
或
$$
frac{3}{2sqrt{3}} times frac{sqrt{3}}{sqrt{3}} = frac{3sqrt{3}}{6} = frac{sqrt{3}}{2}
$$
二、分子有理化（适用于分子含根号的情况）
当分子含有根号时，通过乘以适当的式子将分子化为有理数。
步骤：
分子分母同乘分子的共轭式
若分子为 $sqrt{a}$，则乘以 $frac{sqrt{a}}{sqrt{a}}$；若分子为 $sqrt{a} + sqrt{b}$，则乘以 $frac{sqrt{a} - sqrt{b}}{sqrt{a} - sqrt{b}}$ 等。
化简结果
例如：
$$
frac{sqrt{2}}{1} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{2}{2} = 1
$$
或
$$
frac{1}{sqrt{3} - 1} times frac{sqrt{3} + 1}{sqrt{3} + 1} = frac{sqrt{3} + 1}{2}
$$
三、注意事项
完全平方数因数分解
化简前需将分母或分子分解为完全平方数与其他因数的乘积，例如 $sqrt{72} = sqrt{36 times 2} = 6sqrt{2}$。
符号处理
负数没有平方根（在实数范围内），0的平方根为0。
四、示例综合应用
化简 $frac{3}{4sqrt{5}}$：
$$
frac{3}{4sqrt{5}} times frac{sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{3sqrt{5}}{20}
$$
通过以上方法，可系统化地去除分数平方根，提升计算效率。
