平方根怎么乘分数
2025-05-03 12:50:01
随梦而飞
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平方根与分数相乘的计算方法如下：
一、分数平方根的计算
分母有理化
若分数为 $frac{a}{b}$（$b$ 为完全平方数），可通过分子分母同乘 $sqrt{b}$ 将分母化为完全平方数：
$$
sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} times frac{sqrt{b}}{sqrt{b}} = frac{sqrt{ab}}{b}
$$
例如：$sqrt{frac{1}{5}} = frac{sqrt{1 times 5}}{5} = frac{sqrt{5}}{5}$。
分子分母分别开平方
直接对分子和分母分别求平方根，再化简：
$$
sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}
$$
例如：$sqrt{frac{4}{9}} = frac{sqrt{4}}{sqrt{9}} = frac{2}{3}$。
二、平方根与分数的乘法运算
若需计算平方根与分数的乘积（如 $sqrt{a} times frac{b}{c}$），可按以下步骤进行：
将平方根与分数相乘
$$
sqrt{a} times frac{b}{c} = frac{b sqrt{a}}{c}
$$
例如：$sqrt{2} times frac{3}{4} = frac{3sqrt{2}}{4}$。
分母有理化（可选）
若分母含有根号，可通过分子分母同乘分母的共轭进行有理化：
$$
frac{b sqrt{a}}{c sqrt{d}} times frac{sqrt{d}}{sqrt{d}} = frac{b sqrt{ad}}{cd}
$$
例如：$frac{2 sqrt{3}}{3 sqrt{2}} = frac{2 sqrt{3 times 2}}{3 times 2} = frac{2 sqrt{6}}{6} = frac{sqrt{6}}{3}$。
三、注意事项
分母有理化适用于分母含有根号的情况，可避免分母为无理数；
计算顺序先算乘方再算乘除，有括号先算括号内的内容；
化简计算后需将结果化为最简形式（如分子分母同除以最大公约数）。
通过以上方法，可系统地处理平方根与分数的乘法运算。
