分数的综合运用涉及多种运算规则和技巧，以下是关键方法和注意事项：

一、分数加减法

同分母分数

直接将分子相加或相减，分母保持不变。例如：

$$frac{3}{7} + frac{2}{7} = frac{5}{7}$$

$$frac{5}{9} - frac{2}{9} = frac{3}{9} = frac{1}{3}$$

异分母分数

先通分，找到分母的最小公倍数，再按同分母规则计算。例如：

$$frac{2}{5} + frac{3}{7} = frac{2 times 7 + 3 times 5}{5 times 7} = frac{14 + 15}{35} = frac{29}{35}$$

带分数需先化为假分数再计算。

混合运算

按运算顺序（括号→乘除→加减）进行计算。例如：

$$2 + frac{3}{4} - frac{1}{2} times frac{3}{5} = 2 + frac{3}{4} - frac{9}{10}$$

需先算乘法 $frac{1}{2} times frac{3}{5} = frac{3}{10}$，再统一分母计算加减法。

二、分数乘除法

乘法

分子乘分子，分母乘分母。例如：

$$frac{2}{3} times frac{5}{6} = frac{10}{18} = frac{5}{9}$$

带分数需先化为假分数。

除法

除以一个分数等于乘以它的倒数。例如：

$$frac{3}{4} div frac{5}{6} = frac{3}{4} times frac{6}{5} = frac{18}{20} = frac{9}{10}$$

若被除数是带分数，需先化为假分数。

三、综合应用技巧

通分技巧

- 找分母的最小公倍数，避免重复计算。例如：

$$frac{1}{2} + frac{1}{3} = frac{3}{6} + frac{2}{6} = frac{5}{6}$$

- 对于复杂分数，可先约分再通分。

混合运算顺序

使用括号明确运算优先级。例如：

$$frac{2}{3} times left( frac{3}{4} + frac{1}{2} right) = frac{2}{3} times frac{5}{4} = frac{10}{12} = frac{5}{6}$$。

应用题解题思路

- 确定单位“1”的量，未知量用除法转化为乘法。例如：

某班男生占全班的$frac{3}{5}$，女生占$frac{2}{5}$，若男生有24人，求全班人数。 解：设全班人数为$x$，则$frac{3}{5}x = 24$，解得$x = 40$。

四、注意事项

化简分数：

计算后需约分至最简形式。例如：

$$frac{12}{16} = frac{3}{4}$$

避免错误：通分时分子分母对应相乘，减法需确保分母一致。

概念理解：分数表示部分与整体的关系，计算时需注意“平均分”的概念。

通过掌握这些规则和技巧，可以系统解决分数的综合运算问题。