当指数为分数时，分数次方的计算规则如下：

一、正分数次方

计算方法

对于分数指数幂 $（a/b）^{m/n}$（其中 $a$ 和 $b$ 为正整数，$m$ 和 $n$ 为正整数），可以先将分子和分母分别取 $n$ 次方，再化简为最简分数形式：

$$

left(frac{a}{b}right)^{frac{m}{n}} = frac{a^m}{b^n}

$$

例如：

$$

left(frac{2}{3}right)^{frac{2}{3}} = frac{2^2}{3^2} = frac{4}{9}

$$

化简要求

结果需化简为最简分数形式。若分子或分母为完全幂次方，可进一步化简。例如：

$$

left(frac{8}{27}right)^{frac{2}{3}} = frac{8^2}{27^2} = frac{64}{729} = left(frac{4}{9}right)^3 = left(frac{4}{9}right)^1 = frac{4}{9}

$$

二、负分数次方

计算方法

负分数次方等于其倒数的正分数次方：

$$

left(frac{a}{b}right)^{-frac{m}{n}} = left(frac{b}{a}right)^{frac{m}{n}}

$$

例如：

$$

left(frac{2}{3}right)^{-frac{1}{2}} = left(frac{3}{2}right)^{frac{1}{2}} = sqrt{frac{3}{2}} = frac{sqrt{6}}{2}

$$

三、注意事项

分母为零的情况

若分母 $b = 0$，则分数无意义，因为零的负次方未定义。

负数的分数次方

- 正分数次方：

需先取绝对值再计算。例如：

$$

(-8)^{frac{1}{3}} = sqrt{-8} = -2

$$

- 负分数次方：需先取倒数再计算。例如：

$$

(-8)^{-frac{1}{3}} = left(frac{1}{-8}right)^{frac{1}{3}} = sqrt{-frac{1}{8}} = -frac{1}{2}

$$

特殊值

- $0$ 的负次方无意义（如 $0^{-a}$），$0^0$ 也存在争议。

四、示例总结

| 指数类型 | 计算规则 | 示例|

|----------------|--------------------------------------------------------------------------|---------------------|

| 正分数次方 | $（a/b）^{m/n} = frac{a^m}{b^n}$ | $left（frac{2}{3}right）^{2/3} = frac{4}{9}$ |

| 负分数次方 | $（a/b）^{-m/n} = left（frac{b}{a}right）^{m/n}$| $left（frac{2}{3}right）^{-1/2} = frac{sqrt{6}}{2}$|

| 负整数次方 | $（a/b）^{-n} = left（frac{b}{a}right）^{n}$| $left（frac{3}{4}right）^{-2} = left（frac{4}{3}right）^{2} = frac{16}{9}$ |

通过以上规则，可系统计算分数次方。