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成考函数极值的求解方法与普通函数极值求解方法一致,主要分为以下几个步骤:
一、求导数
使用微分法求出函数 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$,导数表示函数在某一点的变化率。
求二阶导数(可选)
若需更精确判断,可计算二阶导数 $f''(x)$。若 $f''(x_0) >
0$,则 $x_0$ 为极小值点;若 $f''(x_0) < 0$,则为极大值点。
二、找临界点
解方程 $f'(x) = 0$
找出导数为零的点,这些点称为临界点。例如,对于 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$,解 $3x^2 - 12x + 9 = 0$ 得 $x = 1$ 或 $x = 3$。
检查定义域边界点
若函数在闭区间上定义,需比较临界点与区间端点的函数值。
三、判断极值类型
一阶导数法
- 若 $f'(x)$ 在临界点 $x_0$ 处由正变负,则 $x_0$ 为极大值点;
- 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处由负变正,则 $x_0$ 为极小值点。
二阶导数法
- 若 $f''(x_0) >
0$,则 $x_0$ 为极小值点;
- 若 $f''(x_0) < 0$,则 $x_0$ 为极大值点。
四、验证极值
代入原函数求值
将临界点代入原函数 $f(x)$,计算对应的函数值,比较得出极大值或极小值。
示例
以 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ 为例:
1. 求导得 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$;
2. 解 $f'(x) = 0$ 得 $x = 1$ 或 $x = 3$;
3. 二阶导数 $f''(x) = 6x - 12$,在 $x = 1$ 处 $f''(1) = -6 < 0$,故 $x = 1$ 为极大值点;在 $x = 3$ 处 $f''(3) = 6 >
0$,故 $x = 3$ 为极小值点。
注意事项
驻点不一定是极值点:
需通过导数符号变化判断;
边界点需单独讨论:若函数在闭区间上定义,需比较临界点与端点值;
多元函数需用Hessian矩阵:通过二阶偏导数判断驻点类型。
通过以上步骤,可系统求解成考函数极值问题。