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成考函数极值怎么求

2025-05-02 04:14:58
何老师
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成考函数极值的求解方法与普通函数极值求解方法一致,主要分为以下几个步骤:

一、求导数

计算一阶导数

使用微分法求出函数 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$,导数表示函数在某一点的变化率。

求二阶导数(可选)

若需更精确判断,可计算二阶导数 $f''(x)$。若 $f''(x_0) >

0$,则 $x_0$ 为极小值点;若 $f''(x_0) < 0$,则为极大值点。

二、找临界点

解方程 $f'(x) = 0$

找出导数为零的点,这些点称为临界点。例如,对于 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$,解 $3x^2 - 12x + 9 = 0$ 得 $x = 1$ 或 $x = 3$。

检查定义域边界点

若函数在闭区间上定义,需比较临界点与区间端点的函数值。

三、判断极值类型

一阶导数法

- 若 $f'(x)$ 在临界点 $x_0$ 处由正变负,则 $x_0$ 为极大值点;

- 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处由负变正,则 $x_0$ 为极小值点。

二阶导数法

- 若 $f''(x_0) >

0$,则 $x_0$ 为极小值点;

- 若 $f''(x_0) < 0$,则 $x_0$ 为极大值点。

四、验证极值

代入原函数求值

将临界点代入原函数 $f(x)$,计算对应的函数值,比较得出极大值或极小值。

示例

以 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ 为例:

1. 求导得 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$;

2. 解 $f'(x) = 0$ 得 $x = 1$ 或 $x = 3$;

3. 二阶导数 $f''(x) = 6x - 12$,在 $x = 1$ 处 $f''(1) = -6 < 0$,故 $x = 1$ 为极大值点;在 $x = 3$ 处 $f''(3) = 6 >

0$,故 $x = 3$ 为极小值点。

注意事项

驻点不一定是极值点:

需通过导数符号变化判断;

边界点需单独讨论:若函数在闭区间上定义,需比较临界点与端点值;

多元函数需用Hessian矩阵:通过二阶偏导数判断驻点类型。

通过以上步骤,可系统求解成考函数极值问题。