成考函数极值怎么求
2025-05-02 04:14:58
何老师
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成考函数极值的求解方法与普通函数极值求解方法一致，主要分为以下几个步骤：
一、求导数
计算一阶导数
使用微分法求出函数 $f（x）$ 的一阶导数 $f'（x）$，导数表示函数在某一点的变化率。
求二阶导数（可选）
若需更精确判断，可计算二阶导数 $f''（x）$。若 $f''（x_0） >
0$，则 $x_0$ 为极小值点；若 $f''（x_0） < 0$，则为极大值点。
二、找临界点
解方程 $f'（x） = 0$
找出导数为零的点，这些点称为临界点。例如，对于 $f（x） = x^3 - 6x^2 + 9x$，解 $3x^2 - 12x + 9 = 0$ 得 $x = 1$ 或 $x = 3$。
检查定义域边界点
若函数在闭区间上定义，需比较临界点与区间端点的函数值。
三、判断极值类型
一阶导数法
- 若 $f'（x）$ 在临界点 $x_0$ 处由正变负，则 $x_0$ 为极大值点；
- 若 $f'（x）$ 在 $x_0$ 处由负变正，则 $x_0$ 为极小值点。
二阶导数法
- 若 $f''（x_0） >
0$，则 $x_0$ 为极小值点；
- 若 $f''（x_0） < 0$，则 $x_0$ 为极大值点。
四、验证极值
代入原函数求值
将临界点代入原函数 $f（x）$，计算对应的函数值，比较得出极大值或极小值。
示例
以 $f（x） = x^3 - 6x^2 + 9x$ 为例：
1. 求导得 $f'（x） = 3x^2 - 12x + 9$；
2. 解 $f'（x） = 0$ 得 $x = 1$ 或 $x = 3$；
3. 二阶导数 $f''（x） = 6x - 12$，在 $x = 1$ 处 $f''（1） = -6 < 0$，故 $x = 1$ 为极大值点；在 $x = 3$ 处 $f''（3） = 6 >
0$，故 $x = 3$ 为极小值点。
注意事项
驻点不一定是极值点：
需通过导数符号变化判断；
边界点需单独讨论：若函数在闭区间上定义，需比较临界点与端点值；
多元函数需用Hessian矩阵：通过二阶偏导数判断驻点类型。
通过以上步骤，可系统求解成考函数极值问题。
