二进制数的计数和运算规则如下：

一、二进制数的表示方法

基本符号

二进制仅使用两个符号：

- `0` 表示零

- `1` 表示一

数位与权值

采用位置计数法，从右到左的位权依次为 $2^0, 2^1, 2^2, dots$

例如：

- $（1011）_2 = 1 cdot 2^3 + 0 cdot 2^2 + 1 cdot 2^1 + 1 cdot 2^0 = 11_{10}$

常见转换示例

| 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |

|--------|--------|--------|----------|

| 0 | 0 | 0 | 0|

| 1 | 1 | 1 | 1|

| 2 | 10 | 2 | 2|

| 3 | 11 | 3 | 3|

| 4 | 100| 4 | 4|

| 5 | 101| 5 | 5|

| 6 | 110| 6 | 6|

| 7 | 111| 7 | 7|

| 8 | 1000 | 10 | 8|

| 9 | 1001 | 11 | 9|

| 10 | 1010 | 12 | A|

二、二进制的基本运算规则

加法运算

- 规则：`0+0=0`, `0+1=1`, `1+0=1`, `1+1=10`（逢二进一）

- 示例：

$$1010_2 + 1011_2 = 10101_2$$

$$begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 0 & 1 & 0 + & 1 & 0 & 1 & 1 hline & 1 & 0 & 1 & 0 end{array}$$

减法运算

- 规则：`0-0=0`, `1-0=1`, `1-1=0`, `0-1=1`（借一当二）

- 示例：

$$1011_2 - 1010_2 = 0001_2$$

$$begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 0 & 1 & 1 - & 1 & 0 & 1 & 0 hline & 0 & 0 & 0 & 1 end{array}$$

乘法运算

- 规则：`0×0=0`, `1×0=0`, `0×1=0`, `1×1=1`

- 示例：

$$1010_2 times 1011_2 = 1101110_2$$

$$begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 0 & 1 & 0 times & 1 & 0 & 1 & 1 hline & 1 & 0 & 1 & 0 + & 0 & 0 & 0 & 0 + & 1 & 0 & 1 & 0 + & 1 & 0 & 1 & 00 hline & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 end{array}$$

除法运算

- 通过短除法或位运算实现，例如：