数学中求和公式是用于计算数列总和的通用方法，根据数列类型的不同，求和公式也有所差异。以下是主要类型及对应公式：

一、等差数列求和公式

适用于相邻两项差值固定的数列（如自然数列、等差数列）。

公式形式

$$S_n = frac{n}{2} (a_1 + a_n)$$

或

$$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$

其中：

$S_n$ 为前n项和，

$a_1$ 为首项，

$a_n$ 为第n项（$a_n = a_1 + （n-1）d$），

$d$ 为公差，

$n$ 为项数。

示例

计算1到100的自然数和：

$$S_{100} = frac{100}{2} (1 + 100) = 5050$$。

二、等比数列求和公式

适用于相邻两项比值为常数的数列（如几何数列）。

公式形式

$$S_n = frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q} quad (q neq 1)$$

其中：

$S_n$ 为前n项和，

$a_1$ 为首项，

$q$ 为公比，

$n$ 为项数。

示例

计算1到8的几何数列和（公比2）：

$$S_4 = frac{1(1 - 2^4)}{1 - 2} = 15$$。

三、幂级数求和公式

适用于形如 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$ 的级数。

公式形式

$$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n = frac{a_0}{1 - x} quad (|x| < 1)$$

其中：

$a_0$ 为常数项，

$x$ 为变量，

$|x| < 1$ 保证级数收敛。

四、其他常见求和公式

自然数平方和

$$sum_{k=1}^n k^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

示例：计算1到10的平方和：

$$sum_{k=1}^{10} k^2 = frac{10 cdot 11 cdot 21}{6} = 385$$。

奇数平方和

$$sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = n^2$$

示例：计算1到10的奇数平方和：

$$sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2 = 10^2 = 100$$。

五、求和项数的计算

若已知通项公式 $a_n$，可通过以下方法求项数 $n$：

等差数列：

$a_n = a_1 + （n-1）d$，解得 $n = frac{a_n - a_1}{d} + 1$。- 几何数列：$a_n = a_1 r^{n-1}$，解得 $n = log_r frac{a_n}{a_1} + 1$。

六、无限级数求和

对于收敛的无限级数（如几何级数），可用公式：

$$S = frac{a}{1 - r} quad (|r| < 1)$$

例如：

$$sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = frac{1}{1 - frac{1}{2