在数学中，点乘（内积）的表示方法主要有以下两种常见形式：

一、符号表示

点乘符号

使用“·”符号表示点乘，例如：

$$vec{a} cdot vec{b}$$

其中，$vec{a}$ 和 $vec{b}$ 是两个向量。

乘号符号

在某些文献或教材中，点乘也可以用普通乘号“×”表示，例如：

$$vec{a} times vec{b}$$

但需注意这与叉乘符号“×”区分，需通过上下文明确。

二、公式表示

对于二维向量 $vec{a} = （a_1, a_2）$ 和 $vec{b} = （b_1, b_2）$，点乘的公式为：

$$vec{a} cdot vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$$

对于三维向量 $vec{a} = （a_1, a_2, a_3）$ 和 $vec{b} = （b_1, b_2, b_3）$，扩展为：

$$vec{a} cdot vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$

更一般地，对于n维向量 $vec{a} = （a_1, a_2, dots, a_n）$ 和 $vec{b} = （b_1, b_2, dots, b_n）$，公式为：

$$vec{a} cdot vec{b} = sum_{i=1}^n a_ib_i$$

点乘的结果是一个标量，反映了两个向量的夹角和模长关系。例如：

当两向量垂直时，点乘为0；

当两向量方向相同或相反时，点乘为正或负。

三、几何意义

点乘的几何意义是：

$$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| cos theta$$

其中，$theta$ 是两向量的夹角。这一公式源于物理中的做功问题，例如力 $vec{F}$ 与位移 $vec{s}$ 的点乘表示功的大小。

四、示例

计算向量 $vec{a} = （1, 2, 3）$ 和 $vec{b} = （4, 5, 6）$ 的点乘：

$$vec{a} cdot vec{b} = 1 cdot 4 + 2 cdot 5 + 3 cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$

同时，可以通过几何公式验证：

$$cos theta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|} = frac{32}{sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} cdot sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2}} = frac{32}{3 cdot 7} = frac{32}{21}$$

从而得到夹角 $theta$ 的余弦值。