心形线的全长可以通过极坐标下的弧长公式计算。对于极坐标方程 $rho = a（1 + costheta）$，其弧长公式为：

$$s = int_{0}^{2pi} sqrt{rho^2 + left(frac{drho}{dtheta}right)^2} , dtheta$$

计算导数

首先计算 $rho$ 对 $theta$ 的导数：

$$frac{drho}{dtheta} = -asintheta$$

代入弧长公式

将 $rho$ 和 $frac{drho}{dtheta}$ 代入弧长公式：

$$s = int_{0}^{2pi} sqrt{[a(1 + costheta)]^2 + (-asintheta)^2} , dtheta$$

$$= int_{0}^{2pi} sqrt{a^2(1 + 2costheta + cos^2theta) + a^2sin^2theta} , dtheta$$

$$= int_{0}^{2pi} sqrt{a^2(1 + 2costheta + cos^2theta + sin^2theta)} , dtheta$$

由于 $cos^2theta + sin^2theta = 1$，所以：

$$= int_{0}^{2pi} sqrt{a^2(2 + 2costheta)} , dtheta$$

$$= int_{0}^{2pi} asqrt{2(1 + costheta)} , dtheta$$

$$= asqrt{2} int_{0}^{2pi} sqrt{1 + costheta} , dtheta$$

化简积分

利用三角恒等式 $1 + costheta = 2cos^2left（frac{theta}{2}right）$：

$$= asqrt{2} int_{0}^{2pi} sqrt{2cos^2left(frac{theta}{2}right)} , dtheta$$

$$= 2a int_{0}^{2pi} left|cosleft(frac{theta}{2}right)right| , dtheta$$

分段积分

由于 $cosleft（frac{theta}{2}right）$ 在 $[0, pi]$ 为正，在 $[pi, 2pi]$ 为负，所以：

$$= 2a left( int_{0}^{pi} cosleft(frac{theta}{2}right) , dtheta - int_{pi}^{2pi} cosleft(frac{theta}{2}right) , dtheta right)$$

计算积分：

$$int cosleft(frac{theta}{2}right) , dtheta = 2sinleft(frac{theta}{2}right)$$

所以：

$$= 2a left[ 2sinleft(frac{theta}{2}right) Big|_{0}^{pi} - 2sinleft(frac{theta}{2}right) Big|_{pi}^{2pi} right]$$

$$= 2a left[ 2(1 - 0) - 2(0 - 1) right]$$

$$= 2a cdot 4 = 8a$$

因此，心形线 $rho = a（1 + costheta）$ 的全长为 8a。