数学期望等于多少
2025-05-13 01:26:02
随梦而飞
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数学期望的计算方法根据随机变量的类型有所不同，以下是具体说明：
一、离散型随机变量
对于离散型随机变量 $X$，其数学期望 $E（X）$ 的计算公式为：
$$
E(X) = sum_{i=1}^n x_i p(x_i)
$$
其中：
$x_i$ 是随机变量 $X$ 的第 $i$ 个可能取值；
$p（x_i）$ 是取值 $x_i$ 对应的概率；
$n$ 是可能取值的个数。
示例：
若随机变量 $X$ 取值 $0$ 和 $2$，概率分别为 $0.3$ 和 $0.7$，则数学期望为：
$$
E(X) = 0 times 0.3 + 2 times 0.7 = 1.4
$$
二、连续型随机变量
对于连续型随机变量 $X$，其数学期望 $E（X）$ 的计算公式为：
$$
E(X) = int_{-infty}^{infty} x f(x) , dx
$$
其中：
$f（x）$ 是随机变量 $X$ 的概率密度函数。
示例：
若 $X$ 服从均值为 $mu$、标准差为 $sigma$ 的正态分布 $N（mu, sigma^2）$，则数学期望为 $mu$。
三、注意事项
期望值与样本均值的区别
数学期望是理论上的平均取值，而样本均值是实际观测值的平均值。当样本量足够大时，样本均值会趋近于数学期望。
期望值不一定等于结果集合中的值
例如掷骰子，期望值为 $3.5$，但实际结果只能是 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 中的一个。
应用场景
数学期望广泛应用于概率论、统计学、经济学等领域，用于衡量随机变量的中心趋势。
四、补充说明
离散型随机变量的扩展
若随机变量取值范围较大，可分段计算期望后再求和。
连续型随机变量的性质
期望值的存在性需通过概率密度函数的正则性证明。
若需计算具体问题的数学期望，请提供随机变量的取值及对应概率，以便进一步解答。
