韦神出的奥数题是什么
2025-05-12 03:23:13
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韦东奕出的奥数题主要考察幂级数和取对数的技巧，题目如下：
题目
设 $a_1, a_2, dots, a_n$ 是 $n$ 个实数，均落在区间 $（-1, 1）$ 里，证明：
$$
prod_{1 leq i, j leq n} frac{1 + a_i a_j}{1 - a_i a_j} geq 1
$$
并找出等号成立的充分必要条件。
解题思路
取对数转化：
对不等式两边取自然对数，利用对数函数的泰勒级数展开：
$$
ln left( prod_{1 leq i, j leq n} frac{1 + a_i a_j}{1 - a_i a_j} right) = sum_{1 leq i, j leq n} ln left( frac{1 + a_i a_j}{1 - a_i a_j} right)
$$
消去偶次项：
通过交换求和顺序，将奇次项配成完全平方和形式，利用 $ln（1 + x） geq x - frac{x^2}{2} + cdots$ 展开后，可以证明非负性。
等号条件：
讨论等号成立的条件，即 $ln left（ frac{1 + a_i a_j}{1 - a_i a_j} right） = 0$ 时的情况，得出 $a_i a_j = 0$ 或 $a_i = pm a_j$。
答案示例
对于 $n=2$ 的情况，直接展开验证：
$$
frac{1 + a_1 a_2}{1 - a_1 a_2} geq 1 Leftrightarrow a_1 a_2 = 0
$$
推广到一般情况，需通过上述技巧严格证明。
补充说明
该题目难度较高，涉及高等数学中的级数展开和代数技巧，但通过巧妙变换可简化计算。深圳中学学生王羿骁在初二阶段便给出简洁解法，展现了超常的数学天赋。
