奥数中环形道问题是什么
2025-05-11 23:19:40
起航
已认证
已认证起航为您分享以下优质知识
奥数中的环形跑道问题属于 封闭路线上的追及或相遇问题，其核心特点和解决方法如下：
一、基本概念
封闭路线：
指起点和终点重合的路线，如圆形跑道、正方形跑道等。
相遇问题：
两人从同一地点反向出发，相遇时两人合走一圈（跑道周长）。
追及问题：
两人从同一地点同向出发，追及时快者比慢者多走一圈（跑道周长）。
二、核心公式与解题规律
相遇问题
- 路程和：
两人相遇时合走的路程为跑道周长（$n$次相遇时合走$n$圈）。
- 公式：$v_1t + v_2t = n times L$（其中$v_1$、$v_2$为两人速度，$t$为时间，$L$为跑道周长）。
追及问题
- 路程差：
每次追及时快者比慢者多走一圈（$n$次追及时多走$n$圈）。
- 公式：$v_1t - v_2t = n times L$。
三、典型例题解析
同向追及
- 例1：
甲、乙在800米环形跑道上同向跑步，甲每分钟400米，乙每分钟375米，多少分钟后两人第一次相遇？
- 解法：甲比乙每分钟快25米，追及路程为800米，时间$t = 800 div 25 = 32$分钟。
反向相遇
- 例2：
冬冬和晶晶在200米环形跑道上反向跑步，冬冬每秒6米，晶晶每秒4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？
- 解法：两人速度和为10米/秒，合走一圈需20秒，此时冬冬跑了$6 times 20 = 120$米，晶晶跑了$4 times 20 = 80$米。
四、注意事项
速度单位统一：
需确保速度单位一致（如米/秒或米/分钟）。
多次相遇/追及：
通过公式推导可简化计算，例如第$n$次相遇时，总路程为$n times L$。
复杂场景：
若存在加速带、减速带等特殊条件，需通过方程或枚举法求解。
五、总结
环形跑道问题通过明确相遇/追及的本质（合走/多走一圈），结合速度、时间、路程的关系，可转化为经典行程问题。关键在于准确判断运动方向并选择合适公式。
