奥数盈亏问题学的是什么
2025-05-11 22:13:49
孙老师
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奥数中的盈亏问题主要研究在平均分配物品时产生的剩余（盈）或不足（亏）现象，并通过已知条件求出物品总量和分配人数。这类问题最早见于中国古代数学典籍《九章算术》，是小学奥数中的重要题型。
一、核心概念
盈与亏的定义
- 盈：
平均分配时物品有剩余（如每人分5个苹果剩3个）。 - 亏：平均分配时物品不足（如每人分5个苹果少2个）。
基本公式
- 一盈一亏：
$（盈 + 亏） ÷ （两次分配差） = 人数$
- 两盈：$（大盈 - 小盈） ÷ 两次分配差 = 人数$
- 两亏：$（大亏 - 小亏） ÷ 两次分配差 = 人数$
- 一平：$盈 = 人数 × 每份量$
- 一亏：$亏 = 人数 × 每份量$ 。
二、典型题型与解法
一盈一亏型
例：某班学生分铅笔，每人分8支多12支，每人分10支少8支。 - 总差额：$12 + 8 = 20$
- 每份差额：$10 - 8 = 2$
- 人数：$20 ÷ 2 = 10$
- 铅笔总数：$10 × 10 - 8 = 92$ 。
两盈型
例：分水果时，每人分3个苹果多5个，每人分5个苹果多1个。 - 总差额：$5 - 1 = 4$
- 每份差额：$5 - 3 = 2$
- 人数：$4 ÷ 2 = 2$
- 苹果总数：$2 × 5 + 1 = 11$ 。
两亏型
例：分糖果时，每人分4个糖果少3个，每人分6个糖果少9个。 - 总差额：$9 - 3 = 6$
- 每份差额：$6 - 4 = 2$
- 人数：$6 ÷ 2 = 3$
- 糖果总数：$3 × 6 - 9 = 9$ 。
三、解题关键
抓住盈亏变化：
通过比较两种分配方案，分析每份量差异导致的总差额。- 画图辅助：用线段图展示两种分配方案，直观理解盈亏关系。- 公式应用：熟练运用基本公式快速求解。
四、实际应用
盈亏问题可应用于资源分配、成本核算、工程进度等场景，例如：
计算班级人数：分书时每人3本多5本，每人4本少2本。- 优化生产计划：生产A产品每人每天多做1件可节省成本200元，少做1件需增加成本150元。
通过系统学习盈亏问题，学生能提升逻辑推理能力和数学应用能力，为解决实际问题奠定基础。
