二进制奥数题主要涉及二进制与十进制之间的转换、运算规则以及应用问题。以下是解题的关键方法和步骤：

一、二进制与十进制转换

二进制转十进制

将二进制数按权展开求和，公式为：

$$a_n times 2^n + a_{n-1} times 2^{n-1} + dots + a_1 times 2^1 + a_0 times 2^0$$

例如：

$$110_2 = 1 times 2^2 + 1 times 2^1 + 0 times 2^0 = 4 + 2 + 0 = 6_{10}$$

十进制转二进制

- 除以2倒取余数法：

用2连续除以十进制数，记录每次余数，按相反顺序排列。例如：

$$7385_{10} rightarrow 7 times 2^4 + 3 times 2^3 + 8 times 2^2 + 5 times 2^1 + 1 times 2^0 = 101101_2$$

- 短除法：通过不断除以2并记录余数，简化计算过程。例如：

$$139_{10} rightarrow 139 div 2 = 69 text{ 余 } 1 rightarrow 69 div 2 = 34 text{ 余 } 1 rightarrow dots = 10001011_2$$

二、二进制运算规则

加法法则：

$$0+0=0, quad 0+1=1, quad 1+0=1, quad 1+1=10$$

例如：

$$1011_2 + 11_2 = 10010_2$$

乘法法则：

$$0 times 0=0, quad 0 times 1=0, quad 1 times 0=0, quad 1 times 1=1$$

例如：

$$110_2 times 11_2 = 10010_2$$

其他运算：

- 减法：按十进制减法后转换（如 $1011_2 - 11_2 = 1000_2$）

- 乘法：逐位相乘后相加（如 $110_2 times 10_2 = 1100_2$）

三、典型应用题

数位特性问题

例如：

- 一个三位二进制数既是完全平方数，又是十进制完全平方数，求该数。 解：二进制100（4）和十进制100（100）均满足条件

- 一个七位二进制数后六位与前三位相同，求该十进制数。 解：设前三位为abc，则二进制为 $abcabc_2 = a times 2^6 + b times 2^5 + c times 2^4 + dots = 100a + 10b + c$，通过方程求解得 $a=1, b=c=0$，即100

进制转换综合题

例如：

- 将十进制数38转换为二进制数。 解：38 = 64 + 8 + 6 = $100110_2$

- 将二进制数101101转换为十进制数。 解：$101101_2 = 1 times 2^5 + 0 times 2^4 + 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 45_{10}$

计算表达式