二进制如何用式子表示
2025-05-08 05:50:55
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二进制数的表示方法可以通过位权展开式来表示，其核心思想是每一位上的数值乘以2的幂次方，然后将所有结果相加。具体表示方法如下：
一、整数部分的位权展开式
对于一个n位的二进制整数，从右到左（即从最低位到最高位），第i位的位权为$2^i$，其中i从0开始计数。例如，二进制数$11011111$的位权展开式为：
$$
1 times 2^7 + 1 times 2^6 + 0 times 2^5 + 1 times 2^4 + 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0
$$
计算结果为：
$$
128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 223
$$
因此，二进制数$11011111$对应的十进制数是223。
二、小数部分的位权展开式
对于一个n位的小数部分，从左到右（即从最高位到最低位），第i位的位权为$2^{-i}$。例如，二进制小数$0.1011$的位权展开式为：
$$
1 times 2^{-1} + 0 times 2^{-2} + 1 times 2^{-3} + 1 times 2^{-4}
$$
计算结果为：
$$
0.5 + 0 + 0.125 + 0.0625 = 0.6875
$$
因此，二进制小数$0.1011$对应的十进制数是0.6875。
三、综合示例
将整数部分和小数部分结合，例如二进制数$11011111.1011$的完整展开式为：
$$
1 times 2^7 + 1 times 2^6 + 0 times 2^5 + 1 times 2^4 + 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 + 1 times 2^{-1} + 0 times 2^{-2} + 1 times 2^{-3} + 1 times 2^{-4}
$$
计算结果为：
$$
223 + 0.6875 = 223.6875
$$
四、注意事项
符号位处理：
在计算机中，负数通常采用补码表示，最高位为符号位（0表示正数，1表示负数）。
进制转换：
二进制与十进制、十六进制之间的转换可通过分组法实现。例如，将二进制数每4位分为一组，直接替换为对应的十六进制数。
通过位权展开式，二进制数可以方便地转换为十进制数，同时为计算机底层运算提供了基础。
