二进制平方的计算可以通过以下两种方法实现：

一、直接乘法计算

按位相乘

将二进制数按位展开，使用传统乘法法则逐位相乘。例如计算 $（1011）_2^2$：

$$

begin{array}{c@{}c@{}c@{}c}

& 1 & 0 & 1 & 1

times & 1 & 0 & 1 & 1

hline

& 1 & 0 & 1 & 1 quad text{(1011 × 1)}

1011 & 0 & 0 & 0 & 0 quad text{(1011 × 10)}

+1011 & 0 & 0 & 0 & 0 quad text{(1011 × 100)}

+1011 & 0 & 0 & 0 & 0 quad text{(1011 × 1000)}

hline

1010101 quad text{(结果)}

end{array}

$$

最终结果为 $（1011）_2 = 11_{10}$，平方后为 $（1011）_2 = 1001_{10}$。

分块计算

可以将二进制数分成高位和低位两部分，分别计算后合并。例如计算 $（1101）_2^2$：

$$

begin{aligned}

(1101)_2^2 &= (1100 + 0001)^2

&= 1100^2 + 2 cdot 1100 cdot 1 + 1^2

&= 10010000 + 001100 + 000001

&= 10021001 quad text{(结果)}

end{aligned}

$$

这种方法通过减少乘法次数提高效率。

二、转换为十进制后平方

二进制转十进制

先将二进制数转换为十进制数，计算平方后再转换回二进制。例如 $（1011）_2$：

$$

(1011)_2 = 1 cdot 2^3 + 0 cdot 2^2 + 1 cdot 2^1 + 1 cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}

$$

然后计算平方：

$$

11_{10}^2 = 121_{10}

$$

最后将结果转换回二进制：

$$

121_{10} = 1111001_2

$$

注意：此方法适用于较大数的高效计算，但涉及多次进制转换。

三、快速幂算法（适用于大数）

对于非常大的数，可以使用快速幂算法结合二进制分解来提高效率。例如计算 $（1011）_2^3$：

1. 将指数3表示为二进制：$3_{10} = 11_2$

2. 计算平方：$（1011）_2^2 = 1001_2$

3. 再乘以原数：$1001_2 times 1011_2 = 1010101_2$

具体步骤：

$$

begin{aligned}

1001_2 times 1011_2 &= (1000 + 0001) times (1000 + 0011)

&= 1000^2 + 1000 cdot 11 + 11 cdot 1000 + 11 cdot 11

&= 1000000 + 11000 + 11000 + 121

&= 1010101_2

end{aligned}

$$

该方法通过减少乘法次数显著提升效率。

总结

二进制平方计算可通过直接乘法