关于二进制数的计算与转换，以下是综合整理的方法与说明：

一、二进制数的基本概念

数制基础

二进制是逢2进位的数制，仅使用0和1两个数码，基数为2。

- 例如：$1 + 1 = 10$（二进制），$10 + 1 = 11$，以此类推。

位值原理

每位数值的权值是2的幂次方，从右往左依次为$2^0, 2^1, 2^2, dots$

- 例如：$1101_2 = 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 13_{10}$。

二、二进制数的转换方法

十进制转二进制

- 除2取余法：

将数不断除以2，记录余数，从下往上排列。 例如：将23转换为二进制：

$23 div 2 = 11 text{余}1$

$11 div 2 = 5 text{余}1$

$5 div 2 = 2 text{余}1$

$2 div 2 = 1 text{余}0$

结果为$10111_2$。 - 位运算（编程实现）：使用循环结构实现上述过程，例如C语言代码片段。

二进制转十进制

- 按权展开求和：

将二进制数按位权展开，再求和。 例如：$1011_2 = 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 11_{10}$。

三、二进制数的运算规则

基本运算

- 加法：

逐位相加，逢2进1（如$1010_2 + 1011_2 = 10101_2$）。 - 减法：需借位，借1当2（如$1010_2 - 1001_2 = 0001_2$）。 - 乘法：逐位相乘后相加（如$1010_2 times 1011_2 = 11011110_2$）。 - 除法：类似十进制除法，但需处理余数。

特殊运算

- 位运算：

包括与（$&$）、或（$|$）、非（$neg$）等，例如：

- $1100_2 & 1010_2 = 1000_2$（与运算）。 - 移位操作：左移$n$位相当于乘以2，右移$n$位相当于除以2（如$1010_2 leftarrow 101000_2$表示左移2位）。

四、二进制数的应用与特点

计算机基础：计算机内部数据存储和运算均基于二进制，便于实现逻辑电路。- 效率优势：二进制简化了电子元件的开关操作（如0表示关，1表示开）。- 扩展性：通过组合不同进制（如八进制、十六进制）可简化复杂数的表示。

以上方法覆盖了二进制数的核心计算与转换，可根据具体需求选择手动计算或编程实现。