奥数的定律涵盖多个领域，不同年级和主题包含不同内容。以下是综合整理的核心定律及应用说明：

一、数论领域

费马小定理

若 $（a, n） = 1$ 且 $n$ 为质数，则 $a^{n-1} equiv 1 pmod{n}$。例如，$3^4 equiv 1 pmod{5}$。

同余定理

若 $a equiv b pmod{m}$ 且 $a equiv b pmod{n}$，则 $a equiv b pmod{text{lcm}（m, n）}$（最小公倍数）。

中国剩余定理

用于求解一组同余方程，例如：

$$

begin{cases}

x equiv 2 pmod{3}

x equiv 3 pmod{5}

x equiv 2 pmod{7}

end{cases}

$$

可唯一确定解 $x equiv 23 pmod{105}$。

二、几何与组合领域

倒三角定律（三角形数规律）

在等边三角形中，从顶点开始每行数字个数递减，例如第 $n$ 行有 $n$ 个数字。此规律可推广到数列、排列组合问题。

鸽巢原理（抽屉原理）

若 $n+1$ 个物体放入 $n$ 个盒子，则至少有一个盒子包含两个或更多物体。

三、代数与函数领域

整数部分与小数部分函数

- $lfloor x rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（如 $lfloor 3.14 rfloor = 3$）；

- ${x} = x - lfloor x rfloor$ 表示小数部分（如 ${3.14} = 0.14$）；

- 性质包括：$lfloor x + y rfloor = lfloor x rfloor + lfloor y rfloor$（当 $x, y$ 为整数时）。

周期性函数

例如 $lfloor x rfloor$ 是以 1 为周期的函数，${x}$ 也是以 1 为周期的函数。

四、其他重要概念

裴蜀定理：

对于整数 $a, b$，存在整数 $x, y$ 使得 $ax + by = text{gcd}（a, b）$。

贝祖定理：若 $text{gcd}（a, b） = 1$，则存在整数 $x, y$ 使得 $ax + by = 1$。

应用示例

费马小定理应用：判断 $17^{2023} pmod{19}$

由于 $text{gcd}（17, 19） = 1$，根据费马小定理，$17^{18} equiv 1 pmod{19}$，则 $17^{2023} equiv 17^5 equiv 14 pmod{19}$。

倒三角定律应用：求 $1 + 2 + 3 + cdots + 100$

通过倒三角排列规律，可快速计算出总和为 $frac{100 times 101}{2} = 5050$。

以上内容为奥数中常见的重要定律及性质，具体应用需结合题目类型灵活运用。