奥数霹雳数是什么
2025-05-04 21:33:42
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奥数中的“霹雳数”是指满足特定平方数拆分条件的数。根据搜索结果，霹雳数的定义和特性如下：
一、定义与基本性质
形式特征
若一个四位数$ABCD$（$A$、$B$、$C$、$D$为0-9的整数，且$A neq 0$）满足：
$$
ABCD = XY times XY
$$
且其平方和等于自身，即：
$$
A^2 + B^2 + C^2 + D^2 = ABCD
$$
则称$ABCD$为“霹雳数”。
特殊拆分形式
霹雳数还可以表示为两个两位数的乘积，例如：
$$
55 times 55 = 3025 quad text{且} quad 3^2 + 0^2 + 2^2 + 5^2 = 38 = 5^2 + 3^2
$$
这种形式与“霹雳数”的定义一致。
二、寻找方法
倍数筛选
最简便的方法是在9与11的倍数中寻找。例如：
$$
7777^2 = 60481729 quad text{且} quad 6048 + 1729 = 7777
$$
这里$6048$和$1729$分别是$7777$平方后千位和百位与十位、个位组成的数，且满足平方和等于原数。
数学表达
设$XY = 10X + Y$，则：
$$
(10X + Y)^2 = 100X^2 + 20XY + Y^2
$$
需满足：
$$
100X^2 + 20XY + Y^2 = 1000A + 100B + 10C + D quad text{且} quad X^2 + Y^2 = 10A + B + C + D
$$
三、示例与验证
示例1：
$55 times 55 = 3025$
$3^2 + 0^2 + 2^2 + 5^2 = 38 = 5^2 + 3^2$，满足条件。
示例2：$7777 times 7777 = 60481729$
$6048 + 1729 = 7777$，满足条件。
四、总结
霹雳数是具有特殊平方拆分性质的数，通过倍数筛选和平方和验证可有效寻找。这类数在数论和组合数学中具有趣味性和研究价值。
