1到n二进制有多少个1
2025-05-04 09:27:13
赵老师
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根据给定的整数n，计算从1到n（包括n）的所有数字的二进制表示中1的个数的方法如下：
一、数学公式法（适用于n为正整数）
n位二进制数中1的个数
对于n位二进制数（首位为1），1的个数为：
$$1 + (n-1) times frac{2^{n-1}}{2} = 2^{n-1} + (n-1) times 2^{n-2}$$
例如，3位二进制数（100到111）中1的总个数为：
$$1 + 2 + 2 + 3 = 8$$
1到n的1的总个数
若n的位数为k，则1的总个数为：
$$sum_{i=1}^{k} left(2^{i-1} + (i-1) times 2^{i-2}right)$$
该公式通过累加每一位的1的个数得到结果。
二、位运算优化法
利用位运算特性，可以通过以下步骤高效计算：
初始化计数器
```cpp
int count = 0;
```
循环处理n的每一位
- 每次执行 `n = n & （n - 1）` 可消除n的二进制表示中最右边的1，同时计数器加1。
- 重复此操作直到n变为0。
示例代码（C语言）
```c
int countBits(int n) {
int count = 0;
while (n != 0) {
n = n & (n - 1);
count++;
}
return count;
}
```
该算法的时间复杂度为O（k），其中k是n的二进制位数。
三、示例计算
以n=17为例：
1到17的二进制表示中1的个数分别为：
1（1）, 1（2）, 2（3）, 1（4）, 1（5）, 2（6）, 2（7）, 3（8）, 1（9）, 1（10）, 2（11）, 1（12）, 2（13）, 1（14）, 1（15）, 2（16）, 1（17）
总计：5 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 = 35
四、注意事项
负数处理：
若n为负数，需先将其转换为32位无符号数（如 `n & 0xffffffff`）再计算。
时间复杂度：位运算方法优于逐个转换法，尤其适用于大数计算。
通过上述方法，可高效计算从1到n的二进制中1的总个数。
