浮点数怎么用二进制表示
2025-05-04 00:26:12
肖老师
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浮点数的二进制表示采用科学计数法，通过符号位、指数位和尾数位三个部分组合而成。具体表示方法如下：
一、表示结构
符号位（1位）
表示正负号，0代表正数，1代表负数。
指数位（整数部分）
采用偏移量表示，实际存储时需加上偏移值（如双精度浮点数的偏移量为1023，单精度为1022）。
尾数位（小数部分）
表示有效数字，采用二进制小数形式，通常为23位（单精度）或52位（双精度）。
二、转换方法
整数部分转换
将十进制整数部分按“除2取余，逆序排列”法转换为二进制整数。
小数部分转换
采用“乘2取整，顺序排列”法，将十进制小数部分转换为二进制小数。例如0.625转换为二进制为0.101（取24位有效数字）。
组合表示
- 将整数部分与小数部分合并，去掉小数点后多余的零。
- 左移小数点至第一个1的位置，记录移动位数作为指数（如0.625左移3位）。
- 最终形式为：
$$V = (-1)^{text{sign}} times a times 2^{text{exponent}}$$
其中$a$为尾数（1.Mantissa），$text{exponent}$为阶码（bias + 移动位数）。
三、示例
以十进制数2.5为例：
整数部分：
2 → 10（二进制）。
小数部分：
0.5 → 0.1（二进制）。
组合：
- 尾数$a = 1.1$（去掉隐含的1）。 - 指数$text{exponent} = 127 + 3 = 130$（二进制10000010）。 - 最终二进制表示为：
$$1.1 times 2^{130}$$
用二进制补码形式存储为：
$$1 10000010 1001000000000000000000000_2$$ 。
四、特殊值处理
无穷大与NaN：
若尾数全为0，表示正无穷大（符号位为1）；
若尾数不全为0，表示非数值（NaN）。
五、存储格式
单精度（32位）：符号位1位 + 阶码8位 + 尾数23位 → 1100 0011 10010000000000000000000_2。- 双精度（64位）：符号位1位 + 阶码11位 + 尾数52位 → 1001 0011 011100111100111100111100111100111100_2。
通过上述方法，浮点数可高效地用二进制表示，并支持大范围数值及特殊值运算。
