二进制数的位数表示基于2的幂次方，具体规则如下：

一、二进制位数的基本概念

位权值体系

二进制从右向左的位权值依次为：

$$

2^0, 2^1, 2^2, 2^3, dots

$$

例如，二进制数 `101` 的位权值分解为：

$$

1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5

$$

这里最右边的位（最低位）对应 $2^0$，向左依次为 $2^1, 2^2$ 等。

位数与进制关系

二进制是满2进1的计数系统，每增加一位，数值范围翻倍。例如：

- 1位（1-3）：0, 1

- 2位（4-7）：00, 01, 10, 11

- 3位（8-15）：000, 001, dots, 111

- 8位（0-255）：00000000 到 11111111

以此类推，n位二进制数可表示 $2^n$ 个不同数值（0到$2^n - 1$）。

二、判断二进制位数的方法

直接数位计数

从右向左数，最右边为第0位，依次向左增加位数。例如：

- `101`：3位（1位1，2位0）

- `11010`：5位（1位1，2位0，1位1）。

公式计算

对于二进制数 $a_n a_{n-1} dots a_1 a_0$，其位数可通过公式计算：

$$

text{位数} = lfloor log_2(a_n cdot 2^n) rfloor + 1

$$

但实际应用中，通常通过观察最高位的位置直接判断位数。

三、示例说明

二进制数 `101010`

从右向左：

- 第0位：0（$2^0$）

- 第1位：1（$2^1$）

- 第2位：0（$2^2$）

- 第3位：1（$2^3$）

- 第4位：0（$2^4$）

- 第5位：1（$2^5$）

位数：6位（最高位为$2^5$）。

二进制数 `00101010`

从右向左：

- 第0位：0（$2^0$）

- 第1位：1（$2^1$）

- 第2位：0（$2^2$）

- 第3位：1（$2^3$）

- 第4位：0（$2^4$）

- 第5位：1（$2^5$）

- 第6位：0（$2^6$）

- 第7位：1（$2^7$）

位数：8位（最高位为$2^7$）。

四、注意事项

若二进制数以 `0` 开头（如 `001010`），位数仍按实际位数计算，不因前导零而减少。

实际应用中，8位二进制数常用于表示1字节（8位有符号整数）。

通过以上方法，可快速判断二进制数的位数及其位权值。