二进制通过位运算实现不同信息的编码与解码，其核心原理基于逻辑运算和位权展开。以下是具体说明：

一、基本概念

位（bit）

二进制每位只能表示0或1，称为bit，8个bit组成1字节（8b）。

进制转换

- 十进制转二进制：

采用“除2取余法”或“位权展开法”。例如，将93转换为二进制：

$$93_{10} = 01011101_2$$

通过不断除以2取余数，再逆序排列余数得到。 - 二进制转十进制：按权展开式计算，例如：

$$01011101_2 = 2^6 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 1 = 93_{10}$$。

二、基本运算规则

算术运算

- 加法：

遵循“逢二进一”规则，例如：

$$1010_2 + 1011_2 = 10101_2$$

- 减法：采用模二加法（异或运算），例如：

$$1010_2 - 1011_2 = 1011_2$$

- 乘法：通过逐位相乘并相加，例如：

$$1010_2 times 1011_2 = 1101110_2$$

- 除法：通过不断除以2取余数，逆序排列余数，例如：

$$1101_2 div 2 = 110_2 text{ 余 } 1$$

$$110_2 div 2 = 55_2 text{ 余 } 0$$

$$55_2 div 2 = 27_2 text{ 余 } 1$$

$$27_2 div 2 = 13_2 text{ 余 } 1$$

$$13_2 div 2 = 6_2 text{ 余 } 1$$

$$6_2 div 2 = 3_2 text{ 余 } 0$$

$$3_2 div 2 = 1_2 text{ 余 } 1$$

$$1_2 div 2 = 0_2 text{ 余 } 1$$

最终结果为：

$$1101_2 div 2 = 1101_2 text{ 余 } 1$$

逻辑运算

- 与运算（AND）：

全1为1，其余为0，例如：

$$1010_2 land 1100_2 = 1000_2$$

- 或运算（OR）：全0为0，其余为1，例如：

$$1010_2 lor 1100_2 = 1110_2$$

- 异或运算（XOR）：相同为0，不同为1，例如：

$$1010_2 oplus 1100_2 = 0110_2$$

- 非运算（NOT）：0变1，1变0，例如：

$$neg 1010_2 = 0101_2$$

三、信息编码示例

字符编码

- 常见的有ASCII码和Unicode码，例如：

- 'A'的ASCII码为65（二进制01000001），'a'为97（01100001）。

数据存储

- 计算机以补码形式存储有符号数，例如：

- +56表示为0011 0110，-56表示为1100 1002。

四、应用场景

计算机运算：

所有数据处理均基于二进制运算