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二进制如何定义法则

2025-05-02 04:44:33
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二进制是一种以2为基数的数制系统,其核心法则如下:

一、基本定义

符号组成

仅使用0和1两个数码表示数值,其中0代表“无”,1代表“有”。

进位规则

每当某一位的数值达到2时,向高位进1,本位归零。例如:

- $1 + 1 = 10$(二进制)

- $10 + 1 = 11$(二进制)。

二、运算规则

加法法则

- $0 + 0 = 0$

- $0 + 1 = 1$

- $1 + 0 = 1$

- $1 + 1 = 10$(向高位进位)。

减法法则

- $0 - 0 = 0$

- $1 - 0 = 1$

- $1 - 1 = 0$

- $0 - 1 = 1$(需向高位借位,即 $10 - 1 = 1$)。

乘法法则

- $0 times 0 = 0$

- $0 times 1 = 0$

- $1 times 0 = 0$

- $1 times 1 = 1$。

除法法则

- 除数仅限1,$0 div 1 = 0$,$1 div 1 = 1$

- $0 div 0$ 无意义。

三、数位与权值

每一位的权值以2为底数的幂次表示,例如:

$110.11_2 = 1 times 2^2 + 1 times 2^1 + 0 times 2^0 + 1 times 2^{-1} + 1 times 2^{-2}$

二进制数从右往左依次表示 $2^0, 2^1, 2^2, dots$,小数部分从左往右表示 $2^{-1}, 2^{-2}, dots$。

四、应用与扩展

计算机系统:

现代计算机采用二进制存储数据,通过逻辑门实现运算。- 转换方法:

十进制转二进制:通过不断除以2取余数,逆序排列。 - 二进制转十进制:按权展开求和。

二进制的简洁性和与逻辑门的契合性,使其成为计算机科学的基础,而其运算规则则体现了数学中的简洁美与逻辑严谨性。