二进制的计算和位值解析遵循以下规则：

一、位值基础

位权计算

二进制采用2的幂次方表示，从右向左依次为：

$$2^0, 2^1, 2^2, 2^3, dots$$

例如，二进制数 `1011` 的位权展开为：

$$1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$$

最高位与最低位

最左边的位为最高位（如 `1011` 中的 `1` 代表 $2^3$），最右边的位为最低位（如 `1011` 中的 `1` 代表 $2^0$）

二、基本运算规则

加法运算

- 按位相加，逢2进1。 - 示例：`1010 + 1011`

$$begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 0 & 1 & 0 + & 1 & 0 & 1 & 1 hline & 1 & 0 & 1 & 0 end{array}$$

结果为 `10101`，因为最低位 `0+1=1`，次低位 `1+1=10`（进位）

乘法运算

- 仅 `1×1=1`，其他组合均为0。 - 示例：`1011 × 1010`

需逐位相乘后相加，具体过程略

减法与除法

- 减法：`0-1=1`（借一当二）

- 除法：仅能除以1

三、进制转换

二进制转十进制

从高位开始，依次用当前位乘以2的幂次方并求和。 示例：`100101110`

$$1 times 2^8 + 0 times 2^7 + 0 times 2^6 + 1 times 2^5 + 0 times 2^4 + 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 1 times 2^1 + 0 times 2^0 = 302$$

十进制转二进制

通过不断除以2取余数，逆序排列。 示例：将23.375转二进制

$$23 div 2 = 11 text{ 余 } 1$$

$$11 div 2 = 5 text{ 余 } 1$$

$$5 div 2 = 2 text{ 余 } 1$$

$$2 div 2 = 1 text{ 余 } 0$$

$$1 div 2 = 0 text{ 余 } 1$$

结果为 `10111.011`

四、注意事项

借位规则：

二进制借位为“借一当二”

扩展应用：二进制是计算机底层的基础，与八进制、十六进制有转换规则（每3位二进制对应1位八进制，每4位对应1位十六进制）

通过以上规则，可系统地进行二进制计算与转换。