二进制计算机的运算基于二进制数的特性和逻辑门电路的实现，具体可分为以下要点：

一、二进制基础

数制定义

二进制是以2为基数的数制，仅使用0和1两个数码，遵循“逢二进一”的进位规则。

位权与转换

每一位的位权为2的幂次方，例如二进制数1010中，最右边的位（第0位）表示$2^0=1$，依次向左为$2^1=2$、$2^2=4$、$2^3=8$，总和为$1+0+2+8=11$（十进制）。

二、二进制运算规则

加法运算

- 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（需进位）。

- 示例：$1010 + 1011 = 10101$（二进制）。

减法运算

- 0-0=0，1-0=1，1-1=0，0-1=1（需借位）。

- 示例：$1010 - 1001 = 0001$（二进制）。

乘法运算

- 0×0=0，1×0=0，0×1=0，1×1=1。

- 示例：$1010 times 1011 = 1101110$（二进制）。

除法运算

- 0÷1=0，1÷1=1，二进制除法通过位移和减法实现，效率高于十进制。

- 示例：$1000 div 16 = 62$（十六进制），对应二进制为$1000 rightarrow 1110 rightarrow 0011$（分段计算）。

三、硬件实现基础

晶体管开关

计算机硬件通过晶体管的“开/关”状态表示0和1，与二进制位完美匹配。

逻辑门电路

逻辑门（如与门、或门、非门）直接实现二进制运算，是构建复杂电路的基础。

四、进制转换方法

十进制转二进制

- 短除法：

用2整除十进制数，记录余数，倒序排列（如100转二进制为1100）。

- 位运算：使用右移和按位与操作（如$1010_{10} = 1010_{2}$，$1010_{10} rightarrow 1010 div 2 = 510 rightarrow 255 rightarrow 127 rightarrow 63 rightarrow 31 rightarrow 15 rightarrow 7 rightarrow 3 rightarrow 1$）。

二进制转十进制

按位权展开求和，例如$1111_{2} = 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 15_{10}$。

五、扩展应用

八进制与十六进制：

为简化人类阅读，二进制常转换为八进制（每3位二进制对应1位八进制）或十六进制（每4位对应1位十六进制）。例如，二进制$11111111$对应十六进制$FF$。

通过以上规则与方法，计算机能够高效处理