用二进制如何表达数字
2025-05-01 20:09:42
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二进制是一种基于2的数制系统，仅使用0和1两个数字进行记数。以下是关于二进制表示数字的详细说明：
一、基本概念
符号与表示
二进制数用符号$（2）$或右下角标注2表示，例如$（1100）_2$或$1100（2）$。
数位与权值
采用位置计数法，从右往左依次表示$2^0, 2^1, 2^2, dots$。例如：
- $（1011）_2 = 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$。
二、数制转换
十进制转二进制
通过不断除以2取余数，逆序排列余数得到二进制。例如：
- $10_{10}$：$10 div 2 = 5 text{余}0$，$5 div 2 = 2 text{余}1$，$2 div 2 = 1 text{余}0$，$1 div 2 = 0 text{余}1$，结果为$（1010）_2$。
二进制转十进制
将二进制数按权展开求和。例如：
- $（1101）_2 = 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}$。
三、应用与特点
计算机基础
计算机硬件电路基于二进制（0和1），便于实现逻辑运算和存储。
数制扩展
二进制可扩展为八进制（每3位对应1位）和十六进制（每4位对应1位），例如：
- $（1100）_2 = （14）_{8} = （D）_{16}$。
运算规则
二进制四则运算规则简单：
- 加法：逢2进1（如$1+1=10$）；
- 减法：借一当2（如$1-1=0$，$0-1=1$）；
- 乘法：仅当两位均为1时结果为1。
四、示例总结
| 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
|--------|--------|--------|----------|
| 0 | 0 | 0 | 0|
| 1 | 1 | 1 | 1|
| 2 | 10 | 2 | 2|
| 3 | 11 | 3 | 3|
| 4 | 100| 4 | 4|
| 5 | 101| 5 | 5|
| 10 | 1010 | 12 | A|
通过以上方法，二进制可灵活表示任意整数，并为计算机运算提供基础。
