二进制与十进制的转换可以通过以下方法实现，具体分为整数和小数部分：

一、二进制转十进制

按权展开法

将二进制数的每一位乘以2的相应次幂（从右至左，次幂从0开始），然后将结果相加。 例如：

$$1011_2 = 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$$

通用公式：

$$a_n a_{n-1} dots a_1 a_0)_2 = sum_{i=0}^n a_i times 2^i$$

其中 $a_i$ 为二进制位（0或1）。

使用工具

可通过在线转换器（如Mathtool）一键完成转换，操作简单。

二、十进制转二进制

整数部分（除2取余法）

将十进制数反复除以2，记录每次的余数，然后将余数从下往上排列。 例如：

$$13_{10} rightarrow 13 div 2 = 6 text{ 余 } 1 rightarrow 6 div 2 = 3 text{ 余 } 0 rightarrow 3 div 2 = 1 text{ 余 } 1 rightarrow 1 div 2 = 0 text{ 余 } 1$$

结果为：

$$1101_2$$

通用公式：

$$N_{10} = sum_{i=0}^{k} b_i times 2^i$$

其中 $b_i$ 为余数，$k$ 为商的位数。

小数部分（乘2取整法）

将十进制小数部分乘以2，取整数部分，依次向左排列，直到小数部分为0。 例如：

$$0.125 rightarrow 0.125 times 2 = 0.25 text{ 取整 } 0 rightarrow 0.25 times 2 = 0.5 text{ 取整 } 1 rightarrow 0.5 times 2 = 1 text{ 取整 } 1 rightarrow 0$$

结果为：

$$0.001_2$$

通用公式：

$$N'_{10} = sum_{i=1}^{infty} c_i times 2^{-i}$$

其中 $c_i$ 为取整结果。

三、注意事项

负数处理：

十进制负数需先转换为二进制补码形式（符号位为1，其余位取反加1）。 - 二进制负数通常通过补码表示，但需注意计算机实现细节。- 工具辅助：

计算器软件（如Windows的“程序员”模式）可直接进行进制转换。通过以上方法，可灵活实现二进制与十进制之间的转换。