二进制和八进制是两种常见的数制，主要用于计算机领域。以下是关于它们的详细解释：

一、基本定义

二进制

由0和1两个数字组成，逢2进1。例如：

- $1011_2 = 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 11_{10}$

- 二进制是计算机内部运算的基础，因其与电子元器件的开/关状态（0/1）天然匹配。

八进制

由0到7的数字组成，逢8进1。例如：

- $165_8 = 1 times 8^2 + 6 times 8^1 + 5 times 8^0 = 133_{10}$

- 八进制常用于简化二进制数的表示，每3位二进制对应1位八进制（如$110110_2 = 66_8$）。

二、进制转换方法

二进制转八进制

- 每3位二进制数对应1位八进制数，不足时补0。例如：

- $1011011101_2 rightarrow 001 011 011 101_8 = 13365_8$

- 计算方法：从右往左每3位二进制数转换为对应的八进制数，再组合成最终结果。

二进制转十进制

- 按位权展开求和。例如：

- $1011_2 = 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 11_{10}$

- 适用场景：基础运算和进制转换。

八进制转二进制

- 每1位八进制数对应3位二进制数。例如：

- $66_8 = 110_2 times 8^1 + 10_2 times 8^0 = 110110_2$

- 计算方法：将八进制数的每一位转换为对应的3位二进制数，再组合。

三、应用场景

计算机领域：

二进制用于CPU运算和硬件电路设计；

八进制用于早期编程和文件权限设置；

十六进制用于简化长二进制数表示（如100000D=186A0H）。

其他场景：

八进制也可用于简化十进制数的手动计算。

四、示例总结

| 进制 | 数字范围 | 转换示例 | 特点 |

|--------|----------------|-----------------------------------|--------------------|

| 二进制 | 0-1| 1011011101₂ → 13365₈ | 与硬件状态直接对应 |

| 八进制 | 0-7| 165₈ → 110110₂ | 便于人工读写 |

| 十六进制| 0-16 | 186A0H → 100000D | 每位表示4位二进制 |

通过以上解释和示例，可以清晰地理解二进制与八进制的基本概念、转换方法及应用场景。