二进制乘方运算可以通过以下步骤实现，结合了二进制特性和十进制转换的方法：

一、二进制乘方的定义

对于二进制数 $（a_n a_{n-1} dots a_1 a_0）_2$ 的 $k$ 次方，表示为 $（a_n a_{n-1} dots a_1 a_0）_2^k$，其结果是将原数自乘 $k$ 次。例如 $（1011）_2^2 = 1011 times 1011$。

二、二进制乘方的计算方法

直接相乘法

按照二进制乘法规则，将二进制数展开为多项式形式，再逐项相乘。例如计算 $（1011）_2^2$：

$$

begin{align*}

(1011)_2^2 &= 1011 times 1011

&= (1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0) times (1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0)

&= 1 times 1 times 2^6 + 1 times 1 times 2^5 + 1 times 0 times 2^4 + 1 times 1 times 2^3

&quad + 0 times 1 times 2^3 + 0 times 1 times 2^2 + 1 times 1 times 2^1 + 1 times 1 times 2^0

&= 1001101_2

end{align*}

$$

该方法需对每一位的乘积进行二进制加法，过程较繁琐。

转换为十进制法

将二进制数转换为十进制数后进行乘方运算，再转换回二进制。例如计算 $（1011）_2^2$：

$$

begin{align*}

(1011)_2 &= 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 11_{10}

(1011)_2^2 &= 11_{10} times 11_{10} = 121_{10}

121_{10} &= 1 times 2^6 + 0 times 2^5 + 0 times 2^4 + 1 times 2^2 + 1 times 2^0 = 1001101_2

end{align*}

$$

这种方法利用了十进制乘法的熟悉性，适合手工计算或编程实现。

三、注意事项

位数对齐：

部分积的最低位需与乘数的对应位对齐，便于后续相加。

效率优化：对于高次方运算，转换为十进制计算效率更高，但需注意数据类型溢出（如使用编程语言时）。

工具辅助：推荐使用科学计算器或编程语言（如Python）进行大数运算，避免手动计算错误。

四、示例补充

计算 $（1101）_2^3$：

1. 转换为十进制：$（1101）_2 = 13_{10}$

2. 乘方运算：$13^3 = 2197_{10}$

3. 转换回二进制：$2197_{10} = 1111101101_2$

（或分步计算：$1101 times 1101 times 1101 = 1001101 times 1101 = 1001101101_2$）