二进制数的组合涉及位权、进制转换以及不同运算规则。以下是关键内容的综合说明：

一、二进制数的位权与基数

位权概念

二进制数中，从右往左第$n$位的位权为$2^n$。例如：

- $1101_2 = 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}$

- 位权公式：$N$进制第$n$位的位权为$N^n$（如十进制第3位位权为$10^2=100$）

基数与进制

- 二进制基数为2，逢二进一；

- 其他常见进制：八进制（$2^3=8$）、十六进制（$2^4=16$）等

二、二进制数的组合方式

无符号整数

通过位权展开求和转换为十进制，例如：

- $1011_2 = 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$

带符号整数

需先确定符号位（最高位），其余部分按无符号整数转换。例如：

- $1101_2$表示负数，$1011_2=11_{10}$，因此$1101_2=-11_{10}$

三、二进制数的运算规则

基本运算

- 加法：

遵循“逢二进一”规则，例如$1010_2 + 1011_2 = 10101_2$

- 减法：采用模二加法（借位为1），例如$1001_2 - 101_2 = 1110_2$

- 乘法：逐位相乘后相加，例如$1010_2 times 1011_2 = 1101110_2$

- 除法：通过位移和减法实现，例如$1010_2 div 101_2 = 10_2$

快速计算技巧

- 拆分法：

如$110101_2 = 110000_2 + 101_2$，利用熟知的二进制值简化计算

- 位运算：计算机中常用位移操作（如左移$n$位相当于乘以$2^n$）

四、二进制与其他进制的转换

十进制转二进制

- 整数部分：不断除以2取余数，倒序排列（如19→10011）

- 小数部分：乘以2取整数部分，重复直到小数为0

二进制转十进制

- 按权展开求和：$1011_2 = 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 11_{10}$

五、实际应用示例

计算机存储：

内存地址、文件索引等均以二进制表示

网络通信：IP地址、MAC地址等采用二进制编码

通过以上规则与技巧，可以灵活组合二进制数以适应不同场景需求。